数列裂项相消法公式 裂项相消法公式

(资料图)

1、裂项相消如An=1/n*(n+1) 这样An=（(n+1)-n)/n*(n+1) =1/n -1/(n+1)An=1/n*(n+k) k为常数给分子分母同乘k 即An=k/k*n*(n+k)=(1/k)*(n+k -n)/(n*(n+k)) =(1/k)*(1/n - 1/(n+k) )An=1/n*(n+k)(n+2k) k为常数给分子分母同乘2k即An=2k/2k*n*(n+k)(n+2k) =(1/2k)*(n+2k - n)/n*(n+k)(n+2k) =(1/2k)*(1/n*(n+k) - 1/(n+k)(n+2k)往后4项5项的见得就少了 对于其他裂项如出现（An+1 - An)/AnAn+1 也可以考虑将他变成1/An+1 -1/An 然后将1/An看成一个新数列还有一种就是强行的裂项 An=n*(2^n) 设An=Bn+1 - Bn 那么Sn=A1+A2+...+An=(B2-B1）+（B3-B2)+....(Bn+1 - Bn ) =Bn+1 - Bn观察An后面有个2^n 那么可以肯定Bn 后面也有2^n 直接设Bn=（Kn+T)2^n 那么Bn+1 = (K(n+1)+T)2^(n+1)把2^(n+1)写成2*2^n 再把2乘进去就是Bn+1 = (2K(n+1)+2T)2^n=（2Kn+2K+2T)2^nAn=Bn+1 - Bn =(2Kn+2K+2T -Kn - T)2^n=(Kn+2K+T)2^n与An对比得K=1 2K+T=0 所以T=-2Bn=(n-2)*2^nSn=Bn+1 - B1 =(n-1)2^（n+1）+2。

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